用泰勒公式可以证明。
我们知道
inx的n阶导数=sin(x+n*pi/2)
如果sin1是有理数，不妨设为sin1=p/q， p， q没有公约数。显然1>sin1>0。
所以q>=2。
写出sinx的泰勒展开到q阶，那么
inx=x-x^3/3!+x^5/5!+。 。+sin(q*pi/2)x^q/q!+sin((q+1)*pi/2+t*x)/(q+1)!这儿0<t<1。
将x=1代入
p/q=sin1=1-1/3!+1/5!+sin(q*pi/2)/q!+sin((q+1)*pi/2+t)/(q+1)!。
两边同乘q!
p=q!(1-1/3!+1/5!+sin(q*pi/2)/q!)+sin((q+1)*pi/2+t)/(q+1)
in((q+1)*pi/2+t)/(q+1)=p-q!(1-1/3!+1/5!+sin(q*pi/2)/q!)
显然右边为整数，但左边-1<sin((q+1)*pi/2+t)/(q+1)<1，矛盾，所以sin1是无理数。
