理解分形的维度：分形维数实际上相当于是一个尺子的标记，而这个尺子的适用范围比较广，不仅仅是用来求长度。分形维数另外一方面也是一个标准，就是说明这个几何图形的变化情况。
分形维数的诞生，告诉了我们自然世界并不是简单的欧几里德维数空间，而是还有更大的非欧几何。同时，有的人说分形几何是自然界的几何，也一定程度上说明了分形几何的维数是一个衡量自然界的图形的变化情况的标准。
原则
线性分形又称为自相似分形。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构，如科赫曲线（Koch snowflake）、谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）等。
就是一种测量距离空间(X, d)（特别是豪斯多夫空间）比如欧氏空间 Rn 中分形维数的计算方法
Sherbinsky地毯很好 Shelbinski地毯这种地毯实际上是以衍生数学家的名字命名的。 它的原理是将一个正方形分成九个相等的部分，这样就可以形成九个小块。 方形，然后删除中间的最小矩形，然后留下8条周围的线，然后将8个小方块分成9个相等的部分，继续移除中心的小方块，这样就可以形成几次。 Shelbinski地毯的价格并不昂贵。 一般价格约为200元。 它有很多优点，质量好，舒适和美观。 这真的物有所值。 地毯有什么用 1.防滑 家里有地毯，可以起到防滑效果，因为房子里的瓷砖比较滑，如果有的话 它是水，它更容易摔倒，特别是如果老人或孩子跌倒，如果他受伤就很麻烦，那么地毯是个不错的选择。 2。 缓解疲劳 为什么减轻疲劳？ 因为人们在地毯上特别软装并且具有轻微的弹性，践踏它可以缓解疲劳，并且还可以减少由地面和鞋底之间的碰撞引起的震颤。 3.清除灰尘 地毯可以有效吸收灰尘，防止灰尘飞出，使房间的空气质量保持良好。 4。 隔热 你认为在炎热的夏天，如果你踏上地毯，它将是两块，因为它阻挡了地板带来的热量; 什么时候踩到冬天，它温暖吗？
波兰数学家，1882年3月14日 生于华沙。1900年进入华沙大学学习，成为沃罗诺伊的学生。1903年华沙大学时，数学物理系设立了一个奖学金，以奖励学生的数论方面的优秀论文。谢尔宾斯基的论文获得了金质奖章，也因此而为他的第一个主要的数学贡献奠定了基础。因为不愿意使用俄语出版，直到1907年，他才将其出版在了萨谬尔·狄克斯坦的数学杂志（The Works of Mathematics and Physics）上。1904年毕业后，谢尔宾斯基在华沙的一所学校任数学和物理老师。 当学校因为罢工而关闭，谢尔宾斯基决定到克拉科夫攻读博士学位。在克拉科夫的亚格隆尼大学（Jagiellonian University）他做斯塔尼斯瓦夫·萨伦巴（Stanislaw Zaremba）的助教教授数学，同时也学习天文学和哲学。1908年，谢尔宾斯基获得了博士学位并被委派到利沃夫大学。1919年任华沙大学教授。1907年，当偶然遇到了这样一个理论：平面上的点可以限定一个坐标，他第一次对集合论感兴趣。他写信给塔杜施·巴纳赫维奇（Tadeusz Banachiewicz）（那时在哥廷根），询问他这样的结论怎么可能。他得到的回答只有一个词——格奥尔格·康托尔。1909年，谢尔宾斯基开始研究集合论，他保持着难以置信的研究论文和著作的产出。1908年到1914年，他还是罗乌大学教师时，他出版了三部著作和许多研究论文。这三本著作是：无理数原理（1910年），集合论概论（1912年），数论（1912年）。1919年，他成为了华沙大学的教授，并在此度过了余生。 1920年，他同齐格蒙特·扬尼舍夫斯基（Zygmunt Janiszewski）以及谢尔宾斯基以前的学生史提芬·马苏基耶维茨（Stefan Mazurkiewicz）三人一起创建了重要的数学刊物《数学基础》（Fundamenta Mathematica）。谢尔宾斯基本人主要负责集合论部分。在这期间，谢尔宾斯基主要研究集合论，但也研究了点集拓扑学和函数的自由变量。集合论当中，他的贡献主要是选择公理和连续统假设。还有谢尔宾斯基曲线。谢尔宾斯基继续同卢津合作研究分析和投影集合。他研究函数的自由变量包括函数序列（functional series）、函数的导数（differentiability）和Baire’s classification。谢尔宾斯基还深刻的影响了数学在波兰的发展。1921年，他成为华沙大学教务长。1928年，他成为华沙科学协会副主席，同年，当选波兰数学协会主席。第二次世界大战中，在莫斯科被拘留期间，与卢津等俄国数学家接近。1945年回到华沙。1952年被选为波兰科学院院士，曾任该院副院长。还是荷兰、捷克斯洛伐克等外国科学院院士。长期从事集合论及其在数学名领域(拓扑学、实变函数论等)中应用的研究，就是在第二次世界大战期间也未停止过。对数学的其他领域，特别是数论方面的研究，也取得较大成就。于1906年证明了 ≦1/3这一利用较深的分析方法；1915年又在二维与三维空间给出了“谢尔平斯基缕垫”和“谢尔平斯基海绵”；另提出了“不存在三个有理数，它们的和与积都等於1”的“谢尔平斯基猜想”等。两个著名的分形是根据他的名字命名，谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯；另外还有谢尔宾斯基数和谢尔宾斯基问题也是以他的名字命名。谢尔平斯克的著作很多，包括大学教科书、专著和科普读物等，共有700多种。 谢尔平斯克于1920年在华沙与数学家Z·亚尼舍夫斯基和S·马祖凯维奇等人共同创办了《数学基础》杂志，并于1957年恢复出版国际性杂志《算术编年史》。谢尔平斯克因在数学上的成就，1949年获波兰人民共和国国家奖金，并多次获得其他各种奖金。他1960年时作为华沙大学教授退休，但是仍然继续在华沙科学院的数论方面的研究生课程直到1967年。他仍然继续他的工作，做Acta Arithmetica的责任，还是Rendiconti dei Circolo Matimatico di Palermo、Composito Matematica 和 Zentralblatt für Mathematik 部成员。1969年10月21 日，他在华沙去世，终年87岁。其他著作有《论超穷数》、《数论》、《连续假说》、《一般拓扑学》、《基数和序数》和《数的基础理论》等 。
分形是复杂的结构，通常表现出自相似性并具有非整数维数。术语“分形”是由著名数学家 Benoit B. Mandelbrot 首次引入的。他注意到，到处都有许多自然物体是分形的，如雪花、树枝、海岸线等。在自然之外，分形图案或结构也是人为创造的。一种著名的分形类型，谢尔宾斯基垫片，不仅在古代被广泛用于教堂的装饰，而且在现代人工装置工程中也被广泛使用。迄今为止，分形特征已经在包括量子力学、光学、金融、生理学等广泛领域中得到了报道。
分形外观的美感源于自相似性。物理学家也对嵌入在这些非整数维度的非常规系统中的微妙物理定律感兴趣。欧几里得几何是整数维的，物理定律多是在整数维空间的情况下引入的。然而，异常现象可能会在不同的情况下发生。尽管近几十年来有大量的理论和数值研究，但对分形空间中量子输运的实验研究仍然难以捉摸。
近日，上海交通大学金贤敏教授课题组与乌得勒支大学C. Morais Smith教授合作，对分形空间中的量子输运动力学进行了实验研究，并观察到了异常现象。通过使用飞秒激光通过直接书写技术，研究人员能够制造出轮廓为分形的光子晶格。三种典型的分形，谢尔宾斯基垫片、谢尔宾斯基地毯和双谢尔宾斯基地毯，被精确地映射到光子晶格。它们在豪斯多夫维数（即分形维数）或几何学上是不同的。双谢尔宾斯基地毯虽然继承了谢尔宾斯基地毯的豪斯多夫尺寸，但它们的几何形状完全不同。三个分形之间的差异使研究人员能够研究量子传输和分形之间的相互作用。
在研究中，量子游走是经典随机游走的量子模拟，被用作研究量子传输的模型。光子被发射到光子晶格中以执行连续时间量子行走。晶格的长度决定了光子的演化时间。通过编写具有增量长度的光子晶格，研究人员设法捕捉到光子在不同时刻的演化结果，从而揭示了量子传输动力学。均方位移 (MSD) 用于表征量子传输动力学。
结果表明，运输动力学很难用单一的制度来描述。它通常经历几个阶段，如正常状态、分形状态和最终饱和，这与常规情况不同。值得强调的是，与 MSD 以二次方缩放的平移不变格子相比，MSD（在分形区域中）仅由 Hausdorff 维数决定。这种异常现象与 Fleischmann 等人的理论建议非常吻合。研究人员还通过在相当大的分数空间中进行模拟，并通过研究输入位置（即光子发射到晶格的位置）上关系的独立性，进一步证实了所提出的关系的稳 健性。
该研究为更深入地理解分数空间中的物理定律铺平了道路。除了对物理学的基本兴趣之外，它还可能阐明量子力学是否在生物系统中的传输中发挥任何作用，例如分形状的大脑层次结构和一直发生能量传输或信息传输的分支树。从量子算法方面，分形光子晶格的实现为基于连续时间量子游走的量子空间搜索的实验 探索 奠定了基础。
更多信息: Mandelbrot, B. B. Fractals: Form, Chance and Dimension (W. H. Freeman, 1977)
Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman, 1983)
Xu, X.-Y. et. al. Quantum transport in fractal network. Nat. Photon. (2021). DOI: 10.1038/s41566-021-00845-4
Fleischmann, R., Geisel, T., Ketzmerick, R. & Petschel, G. Quantum diffusion, fractal spectra, and chaos in semiconductor microstructures. Physica D 86, 171–181 (1995)
本构模型是应力应变关系，你用了线弹性假设那就是线弹性本构关系。如果你想要的是它单轴试验时候的弹性系数，那么只要有限元建一个执行了删减步骤五六次之后的几何体，施加荷载算一下就行，因为之后的删减只会添加应力集中，对与整体的变形不会有特别大的贡献。如果你想要的是它内部的应力场，如果最后孔洞的大小趋于0，则它这部分周围的应力是无穷的。本构关系就是应力与应变之间的关系。如果没有本构关系，如何计算？本构关系是通过试验、监测抽象出来的，自然试验、监测也很重要。现在本构关系有好多，这说明岩土这种材料的复杂性和区域性，很难用一个统一的本构关系描述一切岩土，也说明现在岩土的本构研究还不够，还需要继续深入研究目前岩土方面本构模型非常多，其中岩石方面的应该是更多一些，也更复杂一些，但应用最多的还是理想的摩尔库伦本构模型，其原因当然不是它更能很好的反映岩土材料的应力应变关系，而是其参数少且易于确定，从而使得其应用最广。孟结海绵(Menger sponge)是一种特殊的立方体结构。孟结海绵说明在立方体里面同时能分出许多的立方体﹐这些是采数列的方式来增加的﹐因此在体积小的立方体上，却可以拥有很大的表面积。的定义如下： 先拿一个正方体。将正方体的面均分成9个正方形，正方体于是均分成27个小的正方体。 从每个面取走中间的小正方体，正方体中心的小正方体亦要取走。这样便得出一个Level 1的Menger sponge 对每个剩下的小正方体都重复1-以上步骤重复一次得出Level 2的Menger sponge，再来一次得出Level 3的Menger sponge，无限重复便得出真正的Menger sponge。大学科学家宫本﹐在2004年曾发表一篇文章﹐率先成功的利用所谓孟结海（Menger Sponge）的多孔立方体捕捉到光谱的一部分 Spectrum)﹐模拟出类似黑洞的效﹐这种技术日后可能在隐密技术和光能计算机这两个领域派上用场。
