其实这样的函数非常多，借助狄利克雷函数，我们可以方便地构造出很多例子，首先来介绍一下狄利克雷函数：
这个函数是一个所有点都不连续的函数，这点我们可以利用连续性的定义来知道。函数在一个点x=a处连续的意思是指，
可以想象，不管a取什么值，那么在它的左侧和右侧的任何小邻域中，都会包含无限多个有理数和无理数，而有理数处和无理数处函数取值又是不一样的，因此左极限和右极限都不存在，所以这一点也就不可能是连续的。
狄利克雷函数是最典型的一个处处不连续的函数，也因为这一奇怪的性质，被人们称为病态函数。利用狄利克雷函数，我们可以构造只在一点连续的函数，只需要将x为有理数时的取值改造一下便可这样一来，这个函数就在x=0处时是连续的，而在任何其它点都是断开的。我们来证明一下，首先来证明在x=0处连续。
很明显：f(0)=0，接下来来看0点的左右极限：
函数值等于极限值，因此在x=0处是连续的。
再看其它的点x=a处，因为刚才我们已经看到了狄利克雷函数，这个证明方法几乎是一样的。a取任何非零值的时候，在它的左右任意小的领域内都含有无数多的有理数和无理数，这就使得它左右极限不存在，因而是断开的。
有了这个例子，我们就可以构造出很多只在0这一点连续的函数。只要将x为有理数时的取值改成任意一个在零点时连续，并且其它点不等于常数0的函数就可以了。即
顺便提一句，上面这个函数不只是只在一点连续，它甚至是只在一点可导。
