什么是欧拉数

“欧拉（Euler)数是一个非理常数，由字母"e"表示，是构成所有自然对数的基础。”

数学常数"e"，俗称欧拉数，可以说是现代数学中最重要的数字。当我说欧拉数在某一时刻以某种方式触及了我们生活中的每一个人时，我并没有夸大其词。从三角计算到复利计算，它无处不在！

什么是欧拉数？

数字，e=2.7182818284......

更具体地说，它是一个数字，在小数点后有无限位数字的数；它遵循可识别的模式，不能表示为确定的分数。本质上是一个非理数，它形成了基本的自然对数，即"ln"。这个数有助于预测许多增长率，从金融指数的增长到疾病的传播速度。任何金融指数的增长或疾病传播病毒的增长，最终都会遵循一种由"e"控制的模式。让我们看一个简单的示例，以更好地了解此常量是如何来的。

想象一下，你精通投资的朋友要100美元，并声称他可以在一年内翻倍。在年底，他会给你200美元，保证你100%的投资回报。如果这是真的，如果你在6个月内要回你的投资，理论上，他应该给你50%的回报，总共150美元。如果你在6个月结束时拿150美元，并把它放回他的"基金"剩下的6个月，在年底，你会得到225美元，那是额外的25美元。

现在，如果你每个月都把钱拿出来再投资呢？你会赚271美元。如果你每天把钱拿出来呢？你会赚大约271.82美元......看到这是怎么回事呢？而不是加倍你的钱，因为你已经设法成倍增长，换句话说，你让你的钱以"e"的系数增长。

显然，e是以下结果：

随着"n"变得越来越大，由此产生的值接近欧拉数。

对于学习复利的高中生来说，这太熟悉了。如果你的本金在年底翻倍，但你继续再投资每日利息，从而增加你的利息，你的本金最终将增长的系数大致等于'e'

这个有趣的数学常数有一个同样有趣的起源故事。

欧拉数的起源

欧拉数首次出现时，约翰·奈皮尔，一个16世纪的数学家，正在寻找一种方法来简化乘法的过程。他设计了一个称为动态类比的过程，通过这个过程，乘法将转换为加法；同时，除法变成了简单的减法。他创建了两列，其中一列中两个数字的积与第二列中的两个数字之和相似。事实上，这是今天自然对数表的初步版本。在整个过程中，奈皮尔从未真正承认存在"e"，但一直使用它。今天，众所周知，"e"构成了每个自然对数的基础。

图注：约翰·奈皮尔是16世纪的职业数学家和神学家。

一个多世纪后，欧拉数被明确确定。戈特弗里德·莱布尼茨是艾萨克·牛顿爵士的竞争对手，他在微积分的工作中发现了这个常数。莱布尼茨写给克里斯蒂安·戈德巴赫的一封信中首次提到这一点，信中他称常数为"b"。然而，在18世纪左右，莱昂哈德·欧拉给该数学常数命名为现代名"e"，并详细说明其几个惊人的属性。奇怪的是，"e"并不代表欧拉的名字，而是他喜欢元音的结果。当莱昂哈德·欧拉发现"a"已经被用来命名其他事物时，他迫不及待地跳到下一个元音，急切地挑选了"e"来代表他的特殊发现。

然而，令人惊讶的是，一个对现代数学有如此重大影响的数学常数是在人类文明的如此晚期被被发现的。相反，我们亲切地称为π的常数（22/7）是公元前550年左右首次发现的！

因此，我们有一个基本的想法，"e"是什么意思，它来自哪里，有什么大不了的呢？为什么这个常数会给现代数学带来革命性的变化？

欧拉数的属性

欧拉的数字有几个有趣的属性，跨越数学主题的范围。e^x的微分是e^x，其积分是简单的(e^x)+C（常数）。如果您取了e^x（ln(e^x)）自然对数的微分，您将得到1/x。

在三角学中，"e"还有助于得出一个有趣的结果：

e^(ix)=cosx+isinx.

这设法建立两个三角函数（sin和cos）和i（√-1）之间的关系，这是相当的壮举！此外，如果您假设x=π值，则公式将产生另一个有趣的关系。

e^(iπ)=cosπ+isinπ

cosπ=-1和sinπ=0

因此，我们得出了一个有趣的结果，它结合了数学中三个最有趣的变量："e"，"i"和"π"。

e^(iπ)=-1

这通常被称为"欧拉定义"。

这些定义和属性为处理复杂分析的人员提供了一个有用的工具，例如华尔街的基金经理、设计下一个革命性应用程序的计算机程序员或美国宇航局（NASA）正在规划下一次火星飞行任务的科学家。欧拉数的影响显然是深远的！

虽然本回答肯定不代表欧拉数的属性和功能的详尽列表，但它是激起您兴趣的一个很好的起点。