如何定义Monad？
Monad
A monad is just a monoid in the category of endofunctors
the category of endofunctors是自函子endofunctor的范畴(category)，Monad是自函子范畴中的Monoid。
前面我们已经了解函子的映射原理，自函子可以理解为映射范畴C到另外一个范畴C。那么自函子的范畴是什么意思？是基于自函子的新范畴吗？经过查询此句原出处： Here it is in context,原文是：
All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X, with product × replaced by composition of endofunctors and unit set by the identity endofunctor.
确实是基于范畴X的新范畴，这个新范畴看成是endofunctors on X。范畴X之上的范畴，这个新范畴的元素对象是自函子endofunctor，谈到范畴就要想到元素对象和态射，那么其态射是什么呢？
前面我们解释函子funtor工作原理时，有一句："3.压平这两层集合，组合所有的结果"，这个组合方式是一种自然变换natural transformation，属于新范畴的态射，因为态射有份两种：组合态射和元identitiy，自然变化就要对分别对X范畴中这两种进行转换。
所以，Monad工作原理包含两个部分：对原范畴组合成新的范畴，这个范畴对于Monad来说必须是幺半群Monoid，可以认为Monad是一系列自函子的组合，这种组合是一种转换，转换的结果是Monoid。
Monad有以下特征：
Monad是一种定义将函数(函子)组合起来的结构方式。(monoid是定义元素对象组合起来的结构方式。如果元素对象是特殊种类：函数(函子)，那么它可能是Monad)这些组合的方法都是符合结合律的有一个特殊幺元，能够和任何元素组合，导致的结果是不改变这些元素。关键对最后一点幺元讲解一下，以为什么需要Monad?一文中案例为说明，假设有两个数字a和b相加，这里a和b 可能为空，Java 代码如下：
int try_to_add_numbers( Integer a, Integer b ) { return a + b; }
如果a 和b非空，那么这个方法将会返回它们的总数，但是如果其中有一个是空的，我们会得到NullPointerException错误，调用客户端得到这个错误必须去处理它。而函数的定义是有一个输入类型和一个输出类型，现在又跑出第三种类型Exception，很显然Exception是和输入输出类型不属于同一个范畴，这就不符合封闭运算了。
那么我们使用一个幺元，比如Optional来封装结果，这样就能保证不抛出Exception，而是将Exception错误通过输出结构输出，这种结果分两种，要么是空，要么是有值，如果是有值，打开它就能获得真正的计算结果。我们使用Optional与结果值结合，但是不会改变这个结果值类型。具体可见： Java8中option实现Monad
总体来说：Monoid是元素对象的组合的范畴，如果这种元素对象是函数或函子(也可能是Pipe，这就复杂了去了 )，那么Monad是自函子的组合范畴，Monad也是一种特殊的Monoid子集。
如果你对大数据Hadoop等比较熟悉，map/reduce其实也是一个Monad。
最后我们用简单大白话(不精确有助于理解)翻译一下Monad的英文定义：A monad is just a monoid in the category of endofunctors，monad只不过也是一种特殊情况下的monoid，特殊在哪里呢？就是自己对自己进行转换的集合而已。
