千年的质数公式会不会非常简单？
古希腊数学家欧几里得于公元前 300 年前后证明有无限多个素数存在以来，至今科学家仍未发现可以完全区别素数与合数的公式。还有许多有关素数的问题依然未解，如哥德巴赫猜想。
让人魂牵梦绕的素数定理
几百年来，一个问题引发了许多数学家的思考：既然素数很重要，能不能有某种规则，来产生素数？遗憾的是，这样的规则一直未被发现。
当大家在寻找素数的时候，发现随着数越来越大，素数越来越少。比如100以内有25个素数，1000以内有168个素数，1000000以内只有78498个。为什么1000以内是168个素数，而不是158个或178个？有没有一个公式或规则，能告诉我们，小于一个给定数的素数有多少个？
这个问题正是黎曼在1859年被柏林科学院任命为通信院士后向科学院提交的一篇论文，题目为《论小于某给定值的素数的个数》。
事实上，关于素数分布的问题在更早些时候已经引起了数学大家如欧拉和高斯的关注。高斯就曾给出了素数分布规律的猜想。他认为：
这一发现可以被看作是探索未知的经典案例，需要有超凡的毅力（设想一下在没有计算机的年代求几千万以内的素数）和洞察力。不妨从下表的素数个数开始。看上去没有什么规律，只能看出随着N的增大，小于N的素数密度逐渐稀疏。
我们不妨尝试观察一下这个密度到底如何变化，不妨取密度的倒数N/π(N)，如下表。稍微有一点找规律经验的人大概就看出来随着N以指数速度递增，N/π(N)大致是以固定的步长递增。
指数函数和等差的关系，稍微学过一点中等数学的人就能知道，将指数函数取对数，那就变成线性函数了。下表给出了lnN和N/π(N)的对比。
看上去是不是很简单？确实，但如果你觉得这么简单的规律你也可以发现和总结，那就错了。仅靠一支笔和一张纸，求出1000000000以内的质数，要不你试试？ 据说当年15岁的高斯没事的时候就是算素数玩，你行吗？
这个被冠以“素数定理”的命题得到了高斯、勒让德、狄利克雷、黎曼、切比雪夫、塞尔贝格、爱尔特希(Paul Erdos)和阿达马(Hadmard)等众多数学大家的重视。据说无论谁证明了素数定理，都将得到永生。
数学家几千年来一直对素数的相关猜想着迷，前赴后继有很多数学家都在这些关于素数的孜孜不倦的探索者。著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想都是关于素数规律的猜想。数学家们一直苦于没有找到一个素数公式，导致这些猜想依旧是世界难题，至今没有解决。
黎曼猜想,通往质数的征途
1900年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，它为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。
当我们回顾这次跨越时空的呼应时，却发现有一个共同的问题，并且已经伴随着数学家们走过了沧桑百年的历程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。
黎曼猜想究竟有何神奇之处，竟让如此多的数学家为此痴迷和魂牵梦绕？在它那里，又藏着怎样惊世骇俗的秘密？破译这样一个难题，真的会给数学和世界带来激动人心的改变吗？
1.质数探索
在自然数序列中，质数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。4，6，8，9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。
人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期，彼时欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但是对质数的分布规律却毫无头绪。随着研究的深入，人们愈发对行踪诡异的质数感到费解。这些特立独行的质数，在自然数的汪洋大海里不时抛头露面后，给千辛万苦抵达这里的人们留下惊叹后，又再次扬长而去。
1737年，瑞士的天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。
沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。
2.横空出世
虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。
其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。
没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。
3.黎曼Zeta函数
黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼Zeta函数，Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方，对n从1到无穷求和。因此，黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级数的求和才能收敛（收敛在这里指级数的加和总数小于无穷）。
为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面。
研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数的取值为零的数值集合。比如一元二次方程一般有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。
黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。
第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。
第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。
第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。
有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里，数学家心目中那颗最璀璨的明星。
千年未解质数之谜或藏在准晶体结构中？
最近，在普林斯顿大学的一项研究中，科学家发现隐藏在素数分布背后的规律。通过 X 射线研究准晶体材料内部原子排列模式，研究人员发现所得到的结果与数轴上的素数序列之间有着惊人的相似之处。这一结果或将极大提高素数预测的精度。
微软研究中心的首席研究员 Henry Cohn 虽没有参与这项研究，但他说：“这篇论文的有趣之处在于，它为我们提供了一个关于质数的不同视角：我们可以将它们视为粒子，还能尝试通过X射线衍射绘制出它们的结构。这项研究提供了一个优美的新视角，建立了材料科学与晶体散射理论的新联系。”
图 | 普林斯顿大学的研究人员发现质数与某些准晶体材料中的原子位置有相似的排列模式。（来源：Kyle McKernan, Office of Communications）
质数（Prime number），又称素数，指在大于 1 的自然数中，除了 1 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 1 与该数本身两个因数的数）。其中，大质数是许多密码系统的基本构造单元。虽然数学家已经研究了素数的一些顺序规律，但总的看来质数似乎是随机地分布在数轴上的。最小的几个素数是 2、3、5、7 和 11，随着数轴的延伸，较大的素数的分布则变得更加零散。
在最近发表于 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 的研究表明，质数并不像先前所想的那样毫无规律的随机分布。研究人员发现质数在数轴上的序列与 X 射线在材料衍射出的内部原子排列具有惊人的相似性。普林斯顿材料科学与技术研究所的 Salvatore Torquato 教授和他的同事发现，当考虑大范围时，质数比之前认为的更加有规律，这一模式即“超齐构体”模式。这项分析或将对数学和材料学领域的研究者提供帮助。
“质数的分布远比我们以前认为的要有规律的多”，普林斯顿大学自然科学教授 Lewis Bernard 和 Torquato 教授说，“我们发现质数的分布表现的就像晶体材料一样，更准确地说，是一种称为‘准晶体’的类似晶体的材料。”
Torquato 及其同事发现，当从数轴上很长一段来看时，质数的分布要比之前所认为的更有规律，属于所谓的“超齐构体”（hyperuniformity）模式。“超齐构体”材料（hyperuniform materials）具有特殊的长程有序性，包括晶体、准晶以及某些特殊无序系统。目前，科学家在鸟类眼睛中视锥细胞的排列中、某些罕见的陨石中以及宇宙大尺度结构中发现了这种“超齐构体”。
研究者表示，他们在质数中发现的排列模式，跟 X 射线与某些物质相互作用时所得到的模式是一致的。作为化学家的 Torquato 教授非常熟悉 X 射线晶体学，这是一门利用 X 射线来研究晶体中原子排列的学科。比如钻石或其他晶体，在与 X 射线相互作用的过程会产生可预测的亮点或峰值模式，称为“布拉格峰”（Bragg peaks）。
相比于典型的晶体材料，准晶材料的布拉格峰排布则更为复杂。典型晶体的布拉格峰会形成规律的有空隙间隔的排布，但在准晶中，任意两个布拉格峰之间，还可以找到一个新的布拉格峰。
Torquato 及其同事在质数中发现的模式类似于准晶体中原子的排布模式以及一个称为“有限周期序”（limit-periodic order）系统，但却稍有不同，所以研究者称其为“有效有限周期”（effectively limit-periodic）。素数出现在一些具有“自相似性”的数组中，也就是说在某些较高的数值“峰”之间，有许多组较小的“峰”。
图 | 将素数看作“原子”，红点表示非素数，黑点表示素数。研究者发现某些素数与某些类晶体结构中的原子排布有相似的模式。
研究者首先利用计算机模拟研究了将质数作为一串原子与 X 射线相互作用后会发生什么，然后才发现了这个明显的排列模式。在今年 2 月曾发表在《物理学杂志 A》上的研究中，研究报道了所发现的一个令人惊讶的类似于布拉格峰的图样，这表明素数的排列模式其实是高度有序的。
在近日的研究中，研究者利用数论方法为前期的模拟实验提供了有力的理论基础。研究者发现，尽管质数在数轴上较短的间隔里是随机出现的，但在数轴上足够长的范围里，从这些看似混乱的数字中也能找到一定的规律。
一点感慨
时至今日，素数定理已被证明，小于N的素数个数的上限和下限都已经给出，但π(N)的确切值是多少，依然是一个悬而未决的问题，一批又一批的数学家们前赴后继想登上最高峰，但都以失败告终，但这并不妨碍后面还有一批又一批的攀登者。所以千年的质数公式的探索不会简单，如果非常简单，会引起所有数学家反思的。
已知素数的相关成果还是当今密码学的基础。先行互联网的所有密码都和素数的规律有关系。素数公式的发现，将使这些密码变得毫无作用，可以预见不久的将来和密码账号有关的所有系统——比如银行账户、邮箱账号、游戏账号等——都将陷于极大的风险之中。
孪生素数猜想是中国数学民科爱好者的“重灾区”。网上关于证明了或推翻孪生素数猜想的“证明”太多了。笔者这里再次痛心疾首的呼吁，请各位业余爱好者远离任何命题标题中含有“素数”二字的猜想。你可以提出各种有关素数的猜想，但是不要试图去证明已经存在几十年的任何有关素数的猜想，这不是你能干的活。这是我的逆耳忠言，你听我一句，你可以节省生命中非常多的时间。
参考文献：
1.树上微，自然数的质数判定，合数分解与孪生质数分布；
2.DeepTech，千年未解质数之谜或藏在准晶体结构中？新研究发现原子排列与质数序列惊人重合
